Εφαρμογή με παραμετρική οικογένεια ευθειών

Μια ενδιαφέρουσα εφαρμογή του σχολικού βιβλίου της κατεύθυνσης β' λυκείου στη σελ. 67, με παραμετρική οικογένεια ευθειών, μας δίνει την ευκαιρία να δούμε πότε μια παραμετρική εξίσωση ικανοποιείται για κάθε τιμή της παραμέτρου λ.

Δίνεται η εξίσωση:
$$(x-2y+5) + \lambda (3x+2y+7) = 0 \qquad (1), \qquad \text{όπου} \quad \lambda \in \mathbb{R}$$ .
Να αποδειχθεί ότι:
α) Για κάθε τιμή της παραμέτρου λ η εξίσωση παριστάνει ευθεία.
β) Όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (1) διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Απόδειξη

α) Αρκεί να δείξω ότι δεν μπορεί να μηδενιστούν ταυτόχρονα οι συντελεστές των $x$ και $y$. Η εξίσωση (1), αν κάνουμε τις πράξεις και ομαδοποιήσουμε ως προς $x$ και $y$, θα γίνει:
$$(1+3\lambda)x + (-2-2\lambda)y + (5+7\lambda) = 0, \qquad (2)$$
Ο συντελεστής του $x$ είναι $1+3\lambda$ και μηδενίζεται για $\lambda = -\frac{1}{3}$. Τότε ο συντελεστής του $y$ γίνεται $-\frac{8}{3} \neq 0$. Άρα δεν μπορούν να μηδενιστούν ταυτόχρονα οι συντελεστές των $x$ και $y$.
Άρα η εξίσωση (1) παριστάνει πάντα ευθεία.

β) 1η λύση.
Η εξίσωση (1) για κάθε τιμή του $\lambda$ παριστάνει και μια ευθεία.
Θα επιλέξω δύο ευθείες στην τύχη και θα υπολογίσω το σημείο που τέμνονται.
Ύστερα θα ελέγξω αν οι συντεταγμένες του σημείου ικανοποιούν την εξίσωση (1).
Για $\lambda = 0$ η (1) μας δίνει $$x - 2y + 5 = 0 \qquad (2)$$ και για $\lambda = 1$ η (1) μας δίνει $$4x + 12 = 0 \qquad (3)$$ .
Λύνοντας το σύστημα των (2), (3) καταλήγω ότι $x = -3, y = 1$. Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στην (1) παρατηρώ ότι την ικανοποιούν ανεξαρτήτως τιμής του $\lambda$.
Άρα η οικογένεια ευθειών θα περνάει πάντα από το σημείο $(-3,1)$.

2η λύση
Η εξίσωση $$(x-2y+5) + \lambda (3x+2y+7) = 0$$ θεωρώ ότι είναι μια εξίσωση πρώτου βαθμού ως προς  $\lambda$ της μορφής $\alpha x + \beta = 0$, όπου αντί για $x$ έχουμε $\lambda$.
Γνωρίζουμε ότι για να ικανοποιείται η εξίσωση για κάθε $x$ (δηλαδή να είναι ταυτότητα ή αόριστη) πρέπει οι συντελεστές α, β να είναι ίσοι με μηδέν και έτσι η εξίσωση να έχει την μορφή $0x = 0$.
Στην περίπτωσή μας οι συντελεστές α, β είναι $\alpha = 3x+2y+7$ και $\beta = x-2y+5$ (από την (1) ).
Άρα αν μηδενίζονται ταυτόχρονα οι δύο αυτοί συντελεστές τότε η εξίσωση θα ικανοποιείται για κάθε λ.
Λύνοντας το σύστημα  $$\alpha = 0 \quad \text{και} \quad \beta = 0 \Leftrightarrow$$ $$3x+2y+7 = 0 \quad \text{και} \quad x-2y+5 = 0$$ βρίσκουμε ότι $x = -3, y = 1$. Άρα το σημείο $A(-3,1)$ ικανοποιεί την οικογένεια ευθειών για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$. Άρα όλες οι ευθείες περνούν από αυτό το σημείο.