Η παράγωγος άρτιας συνάρτησης είναι περιττή και αντίστροφα

Μια ενδιαφέρουσα σχέση μεταξύ των άρτιων και περιττών συναρτήσεων, διαμέσου της παραγώγου τους, είναι η εξής: Η παράγωγος μιας άρτιας συνάρτησης, αν υπάρχει, είναι περιττή και αντίστροφα.

Άρτιες λέγονται οι συναρτήσεις με συμμετρικό πεδίο ορισμού ως προς το 0. Δηλαδή $x \in D_f \Rightarrow -x \in D_f$  και $f(-x) = f(x)$,   ( $f(-x) = -f(x)$ για περιττές).

Ας αποδείξουμε ότι η παράγωγος άρτιας είναι περιττή και το αντίστροφο αποδεικνύεται με αντίστοιχο τρόπο.


 
Απόδειξη
Από τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης έχουμε:
$$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Αν θέσω -x στη θέση του x θα έχω
$$f'(-x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}$$

Αν θέσω $-k = h$ θα έχω

$$f'(-x) = \lim_{-k \rightarrow 0} \frac{f(-x-k)-f(-x)}{-k} = - \lim_{-k \rightarrow 0} \frac{f(-(x+k))-f(-x)}{k}$$
Επειδή όταν $-k \rightarrow 0$ τότε $k \rightarrow 0$ και επειδή η f είναι άρτια, τότε θα έχω

$$f'(-x) = - \lim_{k \rightarrow 0} \frac{f(-(x+k))-f(-x)}{k} = -lim_{k \rightarrow 0} \frac{f(x+k)-f(x)}{k} = -f'(x)$$
Άρα η παράγωγος της συνάρτησης είναι περιττή διότι $f'(-x) = -f'(x)$.