Μια ενδιαφέρουσα σχέση μεταξύ των άρτιων και περιττών συναρτήσεων, διαμέσου της παραγώγου τους, είναι η εξής: Η παράγωγος μιας άρτιας συνάρτησης, αν υπάρχει, είναι περιττή και αντίστροφα.
Άρτιες λέγονται οι συναρτήσεις με συμμετρικό πεδίο ορισμού ως προς το 0. Δηλαδή $ x \in D_f \Rightarrow -x \in D_f $ και $ f(-x) = f(x) $, ( $ f(-x) = -f(x) $ για περιττές).
Ας αποδείξουμε ότι η παράγωγος άρτιας είναι περιττή και το αντίστροφο αποδεικνύεται με αντίστοιχο τρόπο.
Απόδειξη
Από τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης έχουμε:
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
Αν θέσω -x στη θέση του x θα έχω
$$ f'(-x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(-x+h)-f(-x)}{h} $$
Αν θέσω $-k = h$ θα έχω
$$ f'(-x) = \lim_{-k \rightarrow 0} \frac{f(-x-k)-f(-x)}{-k} = - \lim_{-k \rightarrow 0} \frac{f(-(x+k))-f(-x)}{k} $$
Επειδή όταν $ -k \rightarrow 0 $ τότε $ k \rightarrow 0 $ και επειδή η f είναι άρτια, τότε θα έχω
$$ f'(-x) = - \lim_{k \rightarrow 0} \frac{f(-(x+k))-f(-x)}{k} = -lim_{k \rightarrow 0} \frac{f(x+k)-f(x)}{k} = -f'(x) $$
Άρα η παράγωγος της συνάρτησης είναι περιττή διότι $f'(-x) = -f'(x)$.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου