Κάθε συνάρτηση είναι άθροισμα άρτιας και περιττής συνάρτησης

Μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα των συναρτήσεων είναι η δυνατότητα να τις αναλύσουμε σε άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης. Η μόνη προϋπόθεση είναι να έχει η συνάρτηση συμμετρικό πεδίο ορισμού ως προς το 0. Δηλαδή $$x \in D_f \Rightarrow -x \in D_f.$$


 Απόδειξη

Έστω συνάρτηση $f$ με συμμετρικό πεδίο ορισμού ως προς το 0. Έστω $f_1$ μια άρτια και $f_2$ μια περιττή συνάρτηση με την ιδιότητα $$f(x) = f_1(x) + f_2(x)$$ για κάθε $x \in D_f$. Τότε θα ισχύει $$f(-x) = f_1(-x) + f_2(-x) = f_1(x) - f_2(x)$$ .

Λύνοντας το σύστημα ως προς $f_1$ και $f_2$, θα έχουμε:

Προσθέτοντας κατά μελη τις δύο σχέσεις θα έχουμε ότι $$f(x) + f(-x) = 2f_1(x)$$ και άρα $$f_1(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$$ που έυκολα διαπιστώνουμε ότι είναι μια άρτια συνάρτηση.

Αφαιρώντας κατά μέλη τις δύο σχέσεις θα έχουμε ότι $$f(x) - f(-x) = 2f_2(x)$$ και άρα $$f_2(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$$ που έυκολα διαπιστώνουμε ότι είναι μια περιττή συνάρτηση.

Άρα διαπιστώνουμε ότι από μια συνάρτηση $f(x)$ με  συμμετρικό πεδίο ορισμού ως προς το 0 μπορούμε να δημιουργήσουμε μια άρτια συνάρτηση, την $f_1(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ και μια περιττή, την $f_2(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$.