Τα δαμάσκηνα του πάθους

Τρεις πρίγκιπες προσπαθούν να κατακτήσουν την καρδιά της πριγκίπισσας Libusha, της ιδρύτριας του τσέχικου κράτους. Η πριγκίπισσα τους ζήτησε να λύσουν το εξής πρόβλημα:

"Αν δώσω τα μισά από τα δαμάσκηνα που υπάρχουν σε αυτό το καλάθι συν ένα επιπλέον στον έναν πρίγκηπα, τα μισά από τα υπόλοιπα συν ένα ακόμα δαμάσκηνο στον δεύτερο, και τα μισά από τα υπόλοιπα συν τρία ακόμα στον τρίτο, το καλάθι θα μείνει άδειο.

Πόσα δαμάσκηνα υπάρχουν στο καλάθι;"

(Μια σπαζοκεφαλιά από το τεύχος Μαρτίου/Απριλίου 2001 του περιοδικού Quantum).


1η λύση

Αφού ο τελευταίος πήρε τα μισά από αυτά που έμειναν συν τρία και άδειασε το καλάθι τότε τα μισά που είχαν μείνει, ήταν τρία. Άρα ο τελευταίος πήρε 3 + 3 δαμάσκηνα = 6.

Ο δεύτερος πήρε τα μισά που είχαν μείνει συν 1. Άρα τα έξι του τελευταίου συν το ένα παραπάνω που πήρε ο δεύτερος μας κάνουν επτά. Άρα τα μισά που πήρε ο δεύτερος ήταν 7 συν το ένα  = 8. Άρα ο δεύτερος και ο τρίτος πήραν 8 + 6 = 14.

Με αντίστοιχη λογική ο πρώτος πήρε τα μισά συν ένα. Άρα αυτά που μείναν ήταν 14 και το συν ένα του πρώτου μας κάνει 15. Άρα τα μισά ήταν 15 και όλα μαζί τα δαμάσκηνα θα είναι 30.

2η λύση

Αυτή είναι η αλγεβρική λύση.

Έστω x ο αριθμός των δαμάσκηνων. Τότε ο πρώτος θα πήρε $\frac{x}{2} + 1$. Αυτά που μείναν ήταν $\frac{x}{2} - 1$. Άρα ο δεύτερος θα πήρε τα μισά από αυτά συν ένα δηλαδή $\frac{\frac{x}{2} - 1}{2} + 1$. Άρα για τον τρίτο μείναν $\frac{\frac{x}{2} - 1}{2} - 1$ και πήρε τα μισά από αυτά συν τρία. Δηλαδή ο τρίτος πήρε $\frac{ \frac{\frac{x}{2} - 1}{2} - 1}{2} + 3$. Έτσι φτιάχνεται η εξίσωση $$\frac{x}{2} + 1 + \frac{\frac{x}{2} - 1}{2} + 1 + \frac{ \frac{\frac{x}{2} - 1}{2} - 1}{2} + 3 = x.$$
Λύνοντας αυτή την εξίσωση καταλήγουμε ότι το x = 30.