Κάθε αριθμός πίστευαν οι πυθαγόρειοι μπορεί να εκφραστεί σαν ρητός αριθμός. Όταν όμως προσπάθησαν να εκφράσουν την αναλογία μεταξύ της υποτείνουσας α και της κάθετης πλευράς β ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου δεν το κατάφεραν.
Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι \[ \alpha^2 = \beta^2 + \beta^2 \Leftrightarrow \] \[ \alpha^2 = 2\beta^2 \Leftrightarrow \] \[ \frac{\alpha^2}{\beta^2} = 2 \] και θέτοντας $ \frac{\alpha}{\beta} = \rho $ καταλήγουμε στο θέμα μας \[ \rho^2 = 2. \] Έχουμε λοιπόν να αποδείξουμε την απλή πρόταση:
Δεν υπάρχει ρητός αριθμός $ \rho$, με $ \rho^2 = 2 $.
Απόδειξη
Έστω ένας ρητός αριθμός $\rho = \frac{m}{n}$ με $m, n $ ακέραιους που δεν είναι και οι δύο άρτιοι (αν ήταν άρτιοι, θα τους απλοποιούσαμε με το 2 μέχρι να γίνει ο ένας από τους δύο περιττός)(1).
Τότε έστω ότι ο $\rho$ είναι ρητός με την ιδιότητα $\rho^2 = 2$. Τότε θα έχω \[ \left( \frac{m}{n} \right)^2 = 2 \Leftrightarrow \] \[ \frac{m^2}{n^2} = 2 \Leftrightarrow \] \[ m^2 = 2n^2 \]
Επειδή το $ m^2 $ είναι άρτιος (είναι πολλαπλάσιο του 2) τότε το $m$ είναι άρτιος. Αν δεν ήταν άρτιος τότε το $ m^2 $ θα ήταν περιττός ως τετράγωνο περιττού.
Άρα αφού το $m$ είναι άρτιος τότε $ m = 2k $ για κάποιο $ k \in \mathbb{Z} $. Έτσι θα έχω: \[ m^2 = 2 n^2 \Leftrightarrow \] \[ (2k)^2 = 2n^2 \Leftrightarrow \] \[ 4k^2 = 2n^2 \Leftrightarrow \] \[ 2k^2 = n^2. \]
Όπως και για το $m$ έτσι και το $n$ τώρα θα είναι άρτιος διότι αλλοιώς το $n^2$ θα ήταν περιττός.
Άρα και το $m$ και το $n$ είναι άρτιοι.
Άτοπο από την (1).
Άρα δεν υπάρχει ρητός $ \rho$, με $ \rho^2 = 2 $. $ \square $
ΟΕΔ
Βιβλιογραφία
- Walter Rudin: Principles of Mathematical Analysis, σελ. 2
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου