Η τετραγωνική ρίζα του 2 δεν είναι ρητός αριθμός

  Η ανακάλυψη της ύπαρξης αριθμών που δεν είναι ρητοί έφερε την πρώτη μεγάλη κρίση στα μαθηματικά. Ο Πυθαγόρας και η σχολή του έχτισαν την φιλοσοφία τους στην μονάδα και στους συνδυασμούς της. Οι φυσικοί αριθμοί προκύπτουν από τη μονάδα. 1, 1+1 = 2, 2+1 = 3, ... Οι ρητοί αριθμοί ( τα κλάσματα ) προκύπτουν από το συνδυασμό φυσικών αριθμών. $\frac{1}{3} , \frac{523}{73}$.
  Κάθε αριθμός πίστευαν οι πυθαγόρειοι μπορεί να εκφραστεί σαν ρητός αριθμός. Όταν όμως προσπάθησαν να εκφράσουν την αναλογία μεταξύ της υποτείνουσας α και της κάθετης πλευράς β ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου δεν το κατάφεραν.
  Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι $$\alpha^2 = \beta^2 + \beta^2 \Leftrightarrow$$ $$\alpha^2 = 2\beta^2  \Leftrightarrow$$ $$\frac{\alpha^2}{\beta^2} = 2$$ και θέτοντας $\frac{\alpha}{\beta} = \rho$ καταλήγουμε στο θέμα μας $$\rho^2 = 2.$$ Έχουμε λοιπόν να αποδείξουμε την απλή πρόταση:

Δεν υπάρχει ρητός αριθμός $\rho$, με $\rho^2 = 2$.

Απόδειξη



  Έστω ένας ρητός αριθμός $\rho = \frac{m}{n}$ με $m, n$ ακέραιους που δεν είναι και οι δύο άρτιοι (αν ήταν άρτιοι, θα τους απλοποιούσαμε με το 2 μέχρι να γίνει ο ένας από τους δύο περιττός)(1).
  Τότε έστω ότι ο $\rho$ είναι ρητός με την ιδιότητα $\rho^2 = 2$. Τότε θα έχω $$\left( \frac{m}{n} \right)^2 = 2   \Leftrightarrow$$ $$\frac{m^2}{n^2} = 2 \Leftrightarrow$$ $$m^2 = 2n^2$$
  Επειδή το $m^2$ είναι άρτιος (είναι πολλαπλάσιο του 2) τότε το $m$ είναι άρτιος. Αν δεν ήταν άρτιος τότε το $m^2$ θα ήταν περιττός ως τετράγωνο περιττού.
  Άρα αφού το $m$ είναι άρτιος τότε $m = 2k$ για κάποιο $k \in \mathbb{Z}$. Έτσι θα έχω: $$m^2 = 2 n^2 \Leftrightarrow$$ $$(2k)^2 = 2n^2 \Leftrightarrow$$ $$4k^2 = 2n^2 \Leftrightarrow$$ $$2k^2 = n^2.$$
  Όπως και για το $m$ έτσι και το $n$ τώρα θα είναι άρτιος διότι αλλοιώς το $n^2$ θα ήταν περιττός.
  Άρα και το $m$ και το $n$ είναι άρτιοι.
  Άτοπο από την (1).
  Άρα δεν υπάρχει ρητός  $\rho$, με $\rho^2 = 2$. $\square$
ΟΕΔ

Βιβλιογραφία

• Walter Rudin: Principles of Mathematical Analysis, σελ. 2