Διαμερίσεις και Κλάσεις Ισοδυναμίας

Ορισμός Διαμέρισης

Μια Διαμέριση ενός συνόλου Α είναι ο χωρισμός του σε υποσύνολα $S_i$ με τις εξής δύο ιδιότητες:

α) Κάθε στοιχείο του συνόλου Α ανήκει σε κάποιο $S_i$.

β) Τα υποσύνολα $S_i$ είναι ξένα μεταξύ τους. Δεν έχουν δηλαδή κανένα κοινό στοιχείο.

Δηλαδή κάθε στοιχείο του Α ανήκει σε ένα και μόνο ένα $S_i$.

Ορισμός Σχέσης

Μια Σχέση ή διμελής σχέση σε ένα σύνολο Α είναι μια συλλογή από διατεταγμένα ζεύγη στοιχείων του Α. Δηλαδή είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινόμενου $A^2 = A \times A$.  

Ορισμός Σχέσης Ισοδυναμίας

Σχέση Ισοδυναμίας $\sim$ είναι μια σχέση που έχει τις εξής τρεις ιδιότητες:

α) Είναι Αυτοπαθής, δηλαδή κάθε στοιχείο είναι ισοδύναμο με τον εαυτό του, $\alpha \sim \alpha$. Αυτό σημαίνει ότι το διατεταγμένο ζεύγος (α,α) ανήκει στη σχέση, για κάθε α.

β) Είναι Συμμετρική, δηλαδή αν $\alpha \sim \beta$ τότε και $\beta \sim \alpha$. Αν δηλαδή το (α,β) ανήκει στην σχέση τότε και το (β,α) ανήκει στην σχέση.

γ) Είναι Μεταβατική, δηλαδή αν $\alpha \sim \beta$ και $\beta \sim \gamma$ τότε και $\alpha \sim \gamma$. Αν δηλαδή το (α,β) και το (β,γ) ανήκουν στη σχέση τότε και το (α,γ) ανήκει στην σχέση.

Οι δύο αυτές έννοιες συνδέονται με μια απλή και ενδιαφέρουσα πρόταση. Μια σχέση ισοδυναμίας χωρίζει το σύνολο Α σε υποσύνολα που είναι διαμέριση του Α και κάθε διαμέριση ενός συνόλου αποτελείται από υποσύνολα που είναι κλάσεις ισοδυναμίας μιας σχέσης ισοδυναμίας. Θα διατυπώσουμε και θα αποδείξουμε αυτή τη πρόταση.

Κάθε σχέση ισοδυναμίας σε ένα σύνολο Α, ορίζει μια διαμέριση του Α και αντίστροφα, κάθε διαμέριση του Α ορίζει μια σχέση ισοδυναμίας, με κλάσεις ισοδυναμίας τα υποσύνολα της διαμέρισης.

Απόδειξη

Η τετραγωνική ρίζα του 2 δεν είναι ρητός αριθμός

  Η ανακάλυψη της ύπαρξης αριθμών που δεν είναι ρητοί έφερε την πρώτη μεγάλη κρίση στα μαθηματικά. Ο Πυθαγόρας και η σχολή του έχτισαν την φιλοσοφία τους στην μονάδα και στους συνδυασμούς της. Οι φυσικοί αριθμοί προκύπτουν από τη μονάδα. 1, 1+1 = 2, 2+1 = 3, ... Οι ρητοί αριθμοί ( τα κλάσματα ) προκύπτουν από το συνδυασμό φυσικών αριθμών. $\frac{1}{3} , \frac{523}{73}$.
  Κάθε αριθμός πίστευαν οι πυθαγόρειοι μπορεί να εκφραστεί σαν ρητός αριθμός. Όταν όμως προσπάθησαν να εκφράσουν την αναλογία μεταξύ της υποτείνουσας α και της κάθετης πλευράς β ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου δεν το κατάφεραν.
  Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι $$\alpha^2 = \beta^2 + \beta^2 \Leftrightarrow$$ $$\alpha^2 = 2\beta^2  \Leftrightarrow$$ $$\frac{\alpha^2}{\beta^2} = 2$$ και θέτοντας $\frac{\alpha}{\beta} = \rho$ καταλήγουμε στο θέμα μας $$\rho^2 = 2.$$ Έχουμε λοιπόν να αποδείξουμε την απλή πρόταση:

Δεν υπάρχει ρητός αριθμός $\rho$, με $\rho^2 = 2$.

Απόδειξη

Εφαρμογή με παραμετρική οικογένεια ευθειών

Μια ενδιαφέρουσα εφαρμογή του σχολικού βιβλίου της κατεύθυνσης β' λυκείου στη σελ. 67, με παραμετρική οικογένεια ευθειών, μας δίνει την ευκαιρία να δούμε πότε μια παραμετρική εξίσωση ικανοποιείται για κάθε τιμή της παραμέτρου λ.

Δίνεται η εξίσωση:
$$(x-2y+5) + \lambda (3x+2y+7) = 0 \qquad (1), \qquad \text{όπου} \quad \lambda \in \mathbb{R}$$ .
Να αποδειχθεί ότι:
α) Για κάθε τιμή της παραμέτρου λ η εξίσωση παριστάνει ευθεία.
β) Όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (1) διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Απόδειξη

Κάθε συνάρτηση είναι άθροισμα άρτιας και περιττής συνάρτησης

Μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα των συναρτήσεων είναι η δυνατότητα να τις αναλύσουμε σε άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης. Η μόνη προϋπόθεση είναι να έχει η συνάρτηση συμμετρικό πεδίο ορισμού ως προς το 0. Δηλαδή $$x \in D_f \Rightarrow -x \in D_f.$$

Η παράγωγος άρτιας συνάρτησης είναι περιττή και αντίστροφα

Μια ενδιαφέρουσα σχέση μεταξύ των άρτιων και περιττών συναρτήσεων, διαμέσου της παραγώγου τους, είναι η εξής: Η παράγωγος μιας άρτιας συνάρτησης, αν υπάρχει, είναι περιττή και αντίστροφα.

Άρτιες λέγονται οι συναρτήσεις με συμμετρικό πεδίο ορισμού ως προς το 0. Δηλαδή $x \in D_f \Rightarrow -x \in D_f$  και $f(-x) = f(x)$,   ( $f(-x) = -f(x)$ για περιττές).

Ας αποδείξουμε ότι η παράγωγος άρτιας είναι περιττή και το αντίστροφο αποδεικνύεται με αντίστοιχο τρόπο.

Ξιφομαχίες σωματοφυλάκων

Ο Άθως, ο Πόρθος, ο Άραμις και ο ντ' Αρντανιάν κατέλαβαν τις τέσσερις πρώτες θέσεις στους βασιλικούς αγώνες ξιφασκίας. Το άθροισμα των θέσεων που κατέλαβαν ο Άθως, ο Πόρθος και ο ντ' Αρντανιάν ήταν 6. Το άθροισμα των θέσεων που κατέλαβαν ο Πόρθος και ο Άραμις ήταν επίσης 6. Ποιες ήταν οι θέσεις κάθε σωματοφύλακα, αν γνωρίζουμε ότι ο Πόρθος είχε καλύτερη θέση από τον Άθω;

(Μια σπαζοκεφαλιά από το τεύχος Μαρτίου/Απριλίου 2001 του περιοδικού Quantum).

Τα δαμάσκηνα του πάθους

Τρεις πρίγκιπες προσπαθούν να κατακτήσουν την καρδιά της πριγκίπισσας Libusha, της ιδρύτριας του τσέχικου κράτους. Η πριγκίπισσα τους ζήτησε να λύσουν το εξής πρόβλημα:

"Αν δώσω τα μισά από τα δαμάσκηνα που υπάρχουν σε αυτό το καλάθι συν ένα επιπλέον στον έναν πρίγκηπα, τα μισά από τα υπόλοιπα συν ένα ακόμα δαμάσκηνο στον δεύτερο, και τα μισά από τα υπόλοιπα συν τρία ακόμα στον τρίτο, το καλάθι θα μείνει άδειο.

Πόσα δαμάσκηνα υπάρχουν στο καλάθι;"

(Μια σπαζοκεφαλιά από το τεύχος Μαρτίου/Απριλίου 2001 του περιοδικού Quantum).