Εφαρμογή με παραμετρική οικογένεια ευθειών

Μια ενδιαφέρουσα εφαρμογή του σχολικού βιβλίου της κατεύθυνσης β' λυκείου στη σελ. 67, με παραμετρική οικογένεια ευθειών, μας δίνει την ευκαιρία να δούμε πότε μια παραμετρική εξίσωση ικανοποιείται για κάθε τιμή της παραμέτρου λ.

Δίνεται η εξίσωση:
$$(x-2y+5) + \lambda (3x+2y+7) = 0 \qquad (1), \qquad \text{όπου} \quad \lambda \in \mathbb{R}$$ .
Να αποδειχθεί ότι:
α) Για κάθε τιμή της παραμέτρου λ η εξίσωση παριστάνει ευθεία.
β) Όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (1) διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Απόδειξη

Κάθε συνάρτηση είναι άθροισμα άρτιας και περιττής συνάρτησης

Μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα των συναρτήσεων είναι η δυνατότητα να τις αναλύσουμε σε άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης. Η μόνη προϋπόθεση είναι να έχει η συνάρτηση συμμετρικό πεδίο ορισμού ως προς το 0. Δηλαδή $$x \in D_f \Rightarrow -x \in D_f.$$

Η παράγωγος άρτιας συνάρτησης είναι περιττή και αντίστροφα

Μια ενδιαφέρουσα σχέση μεταξύ των άρτιων και περιττών συναρτήσεων, διαμέσου της παραγώγου τους, είναι η εξής: Η παράγωγος μιας άρτιας συνάρτησης, αν υπάρχει, είναι περιττή και αντίστροφα.

Άρτιες λέγονται οι συναρτήσεις με συμμετρικό πεδίο ορισμού ως προς το 0. Δηλαδή $x \in D_f \Rightarrow -x \in D_f$  και $f(-x) = f(x)$,   ( $f(-x) = -f(x)$ για περιττές).

Ας αποδείξουμε ότι η παράγωγος άρτιας είναι περιττή και το αντίστροφο αποδεικνύεται με αντίστοιχο τρόπο.

Ξιφομαχίες σωματοφυλάκων

Ο Άθως, ο Πόρθος, ο Άραμις και ο ντ' Αρντανιάν κατέλαβαν τις τέσσερις πρώτες θέσεις στους βασιλικούς αγώνες ξιφασκίας. Το άθροισμα των θέσεων που κατέλαβαν ο Άθως, ο Πόρθος και ο ντ' Αρντανιάν ήταν 6. Το άθροισμα των θέσεων που κατέλαβαν ο Πόρθος και ο Άραμις ήταν επίσης 6. Ποιες ήταν οι θέσεις κάθε σωματοφύλακα, αν γνωρίζουμε ότι ο Πόρθος είχε καλύτερη θέση από τον Άθω;

(Μια σπαζοκεφαλιά από το τεύχος Μαρτίου/Απριλίου 2001 του περιοδικού Quantum).

Τα δαμάσκηνα του πάθους

Τρεις πρίγκιπες προσπαθούν να κατακτήσουν την καρδιά της πριγκίπισσας Libusha, της ιδρύτριας του τσέχικου κράτους. Η πριγκίπισσα τους ζήτησε να λύσουν το εξής πρόβλημα:

"Αν δώσω τα μισά από τα δαμάσκηνα που υπάρχουν σε αυτό το καλάθι συν ένα επιπλέον στον έναν πρίγκηπα, τα μισά από τα υπόλοιπα συν ένα ακόμα δαμάσκηνο στον δεύτερο, και τα μισά από τα υπόλοιπα συν τρία ακόμα στον τρίτο, το καλάθι θα μείνει άδειο.

Πόσα δαμάσκηνα υπάρχουν στο καλάθι;"

(Μια σπαζοκεφαλιά από το τεύχος Μαρτίου/Απριλίου 2001 του περιοδικού Quantum).